Type et cotype d'un espace de Banach

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Le type et le cotype d'un espace de Banach sont une classification des espaces de Banach et une mesure de la distance entre un espace de Banach et être un espace de Hilbert.

Le point de départ est l'identité pythagoricienne d'un espace de Hilbert. Dans un espace de Hilbert, les vecteurs orthogonaux ont l'identité

Ce n'est plus le cas dans les espaces généraux de Banach. L'orthogonalité est formulée dans la définition à l'aide de variables aléatoires de Rademacher, c'est pourquoi on parle aussi de type de Rademacher et de cotype de Rademacher.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un espace de Banach. Soit une suite de variables aléatoires de Rademacher indépendantes, c'est-à-dire et pour et .

Type[modifier | modifier le code]

est de type avec si une constante finie existe tel que

pour toute suite finie . On écrit pour la meilleure constante .

Cotype[modifier | modifier le code]

est de cotype avec si une constante finie existe tel que

respectivement

pour toute suite finie . On écrit pour la meilleure constante [1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Un espace de Banach est de type et de cotype si et seulement s'il est isomorphe à un espace de Hilbert, alors l'identité pythagoricienne est vraie.
  • Un espace de Banach de type est aussi de type .
  • Un espace de Banach de cotype est aussi de cotype .
  • Tout espace de Banach est de type (découlant de l'inégalité triangulaire).
  • L'équation peut également être écrite sous forme abrégée en utilisant la norme de Bochner-Lebesgue.
  • L'espace dual d'un espace de Banach de type (avec ) est de cotype , où est le nombre conjugué de  : est. De plus, s'applique[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Les espaces pour sont de type et cotype , c'est-à-dire est de type , est de type etc.
  • Les espaces pour sont de type et cotype .
  • est de type et cotype [2].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Daniel Li et Hervé Queffélec, Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », (DOI 10.1017/CBO9781316675762.009)
  • M. Ledoux et M. Talagrand, Probability in Banach Spaces, vol. 23, Berlin, Heidelberg, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete », (DOI 10.1007/978-3-642-20212-4_11)
  • Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer New York,
  • Laurent Schwartz, Geometry and Probability in Banach Spaces, Springer Berlin Heidelberg,

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Daniel Li et Hervé Queffélec, Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », (DOI 10.1017/CBO9781316675762.009), p. 159-209
  2. M. Ledoux et M. Talagrand, Probability in Banach Spaces, vol. 23, Berlin, Heidelberg, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete », (DOI 10.1007/978-3-642-20212-4_11)